Cosa vedrebbero realmente Ian Solo e Chewbecca avvicinandosi alla velocità della luce con la loro astronave? Forse non ciò che ci mostrano i film.

Tanto tempo fa, in una galassia lontana lontana… nell’immaginario universo di “Guerre Stellari”, o “Star Wars”, c’era un’astronave in grado di superare la velocità della luce. Ma Ian Solo e Chewbecca, prima di raggiungerla, cosa vedevano dal parabrezza? Parlo della fase di accelerazione in cui l’astronave, partendo da ferma, raggiunge asintoticamente la velocità della luce nel vuoto c. Perché solo asintoticamente? Perché è impossibile raggiungere realmente la velocità della luce per un corpo massivo, essendo necessaria una quantità di energia letteralmente infinita.

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Un giro sull’astronave più famosa di Guerre Stellari

Stando ai film, qui sopra potete vedere ciò che si presenta agli occhi dei nostri eroi quando si affacciano al parabrezza del Millennium Falcon mentre sfrecciano nello spazio interstellare: i puntini luminosi, ovvero le stelle, appaiono come se si allungassero all’indietro lungo la direzione di marcia. Certamente una rappresentazione artistica molto suggestiva, ma quanto è realistica dal punto di vista fisico? Non ci resta che fare due conti per scoprirlo.

Faremo qualche semplice calcolo di meccanica classica relativistica, per cui ti consiglio di ruotare il telefono o passare alla modalità desktop per visualizzare le formule più lunghe per intero. Fatto? Allora iniziamo!

Per semplicità, non consideriamo l’osservazione dal parabrezza durante l’accelerazione. Invece, è meglio passare a sistemi di riferimento inerziali: a un certo punto fermiamo l’accelerazione, mantenendo quindi costante la velocità v di navigazione, e osserviamo attraverso il parabrezza. Dopo di che, riprendiamo l’accelerazione, la fermiamo, ripetiamo l’osservazione e così via.

Fatte queste premesse, ci affacciamo sul parabrezza e osserviamo una stella in alto alzando lo sguardo con un angolo \theta rispetto alla direzione di moto dell’astronave, che identifichiamo come asse x. Inoltre, poniamo un asse y perpendicolare all’asse x in modo che la stella giaccia sul piano cartesiano definito dai due assi.

Ora consideriamo la velocità della luce emessa da questa stella quando l’astronave è ferma rispetto a essa: con un po’ di semplice trigonometria possiamo subito determinare che la sua componente parallela u_{x} alla direzione di moto del Millennium Falcon e quella perpendicolare u_{y} sono tali che

    \[\theta=\arctan\Bigl(\dfrac{u_{y}}{u_{x}}\Bigl).\]

Adesso, usando le trasformazioni galileiane per determinare la velocità della luce u' emessa dalla stella nel sistema di riferimento dei piloti, avremo che la componente parallela della velocità è incrementata perché si somma a quella dell’astronave stessa, quindi u'_{x}=u_{x}+v; mentre la componente perpendicolare rimane invariata, ovvero u'_{y}=u_{y}. Ma allora, riutilizzando l’equazione sopra con le nuove velocità, otteniamo:

    \[\theta'=\arctan\Bigl(\dfrac{u'_{y}}{u'_{x}}\Bigl)=\arctan\Bigl(\dfrac{u_{y}}{u_{x}+v}\Bigl)\leq\arctan\Bigl(\dfrac{u_{y}}{u_{x}}\Bigl)=\theta,\]

ovvero l’angolo, rispetto all’orizzonte, con cui ora osserviamo la stella è diminuito: dunque vedremmo la stella più vicina all’orizzonte e, per osservarla, saremmo quindi costretti ad abbassare lo sguardo. Questo ragionamento, però, vale con buona approssimazione solo per velocità molto minori di quella della luce, ovvero v\ll c.

Infatti, come derivato per la prima volta dalla teoria classica dell’elettromagnetismo e verificato inizialmente da esperimenti di interferometria, la velocità della luce è costante in ogni sistema di riferimento. Questa legge non viene rispettata dalle trasformazioni di Galileo, alle quali dobbiamo sostituire quelle di Lorentz per vedere cosa succede quando il Millennium Falcon raggiunge velocità relativistiche. Da queste, infatti, otteniamo:

    \[u''_{x}=\dfrac{u_{x}+v}{1+\dfrac{u_{x}v}{c^{2}}}, \qquad u''_{y}=\dfrac{u_{y}}{\gamma\Bigl(1+\dfrac{u_{x}v}{c^{2}}\Bigl)},\]

dove \gamma=1/\sqrt{1-\tfrac{v^{2}}{c^{2}}} e osserviamo che così la velocità della luce è conservata \sqrt{\vert u''_{x}\vert ^{2}+\vert u''_{y}\vert ^{2}}=c. Sostituendo le velocità nell’eq. (1) segue che

    \[\theta ''=\arctan\Bigl(\dfrac{u''_{y}}{u''_{x}}\Bigl)=\arctan\Bigl(\dfrac{u_{y}}{\gamma(u_{x}+v)}\Bigl)\leq\arctan\Bigl(\dfrac{u_{y}}{u_{x}+v}\Bigl)=\theta '\]

quindi l’angolo è in realtà ancora più piccolo. Questo fenomeno si chiama “aberrazione relativistica”. Osserviamo che, nel limite non relativistico, approssimando per \tfrac{v}{c}\ll 1, riotteniamo l’equazione precedente come previsto.

In conclusione, secondo la teoria della Relatività Ristretta, man mano che la velocità aumenta, Ian e Chewbe vedrebbero le stelle, e non solo, avvicinarsi sempre di più alla direzione lungo la quale è diretto il Millennium Falcon e, al limite, concentrarsi tutte in un unico punto luminoso frontale, circondato dal buio. Insomma, senza tenere conto di fenomeni come la persistenza della visione, nel caso limite il panorama potrebbe assomigliare a quello rappresentato qui sotto.

Nell’immagine in evidenza, la Millennium Falcon che sfreccia nello spazio interstellare. Crediti: starships.me.

Per saperne di più: